\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
\title{复变函数第九章调和函数 - 部分习题}

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\begin{document}

\maketitle

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\begin{enumerate}
    \item 设 (1) $u(x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数; (2) 圆 $|z-a|<R$ 全含于 $D$. 求证当 $z=a+re^{i\theta}$, $r<R$ 时,
    \begin{align*}
        u(r,\theta) &= \operatorname{Re} f(a+re^{i\theta}) \\
        &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n (a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta),
    \end{align*}
    且展式是惟一的.

    \item 如果 $u(z)$ 在 $z$ 平面内是有界的调和函数, 试证 $u(z)$ 恒等于常数.

    \item 设 $f(z)$ 为一整函数且不恒等于常数, $u(x,y)=\operatorname{Re} f(z)$, 则对于任一实数 $a$, 必有平面上的点 $(x_0,y_0)$, 使 $u(x_0,y_0)=a$.

    \item 设 (1) $u(x,y)$ 是区域 $D$ 内的调和函数; (2) 圆 $K$ 全含于 $D$, $u(x,y)$ 在 $K$ 内恒等于一常数 $a$. 求证 $u(x,y)$ 在 $D$ 内恒等于 $a$.

    \item 设 (1) $u(x,y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数;
    \begin{enumerate}
        \item $(x_0,y_0)\in D$, $u(x_0,y_0)=a$;
        \item $U$ 是 $(x_0,y_0)$ 的一个邻域, $U\subseteq D$.
    \end{enumerate}
    求证 $U$ 内有无穷多个点, $u(x,y)$ 在其上的值都是 $a$.

    \item 试求在单位圆 $K$ 内调和, 在闭圆 $\overline{K}$ 上 (除去其上两点 $\alpha,\beta$ 外) 连续的函数, 这个函数在圆弧 $\widehat{\alpha\beta}$ 上取值 1, 在单位圆周的其余部分上取值 0.

    \item 试用调和函数的平均值定理证明
    \[
    \int_{0}^{\pi} \ln(1-2r\cos\theta+r^2) \, d\theta = 0,
    \]
    其中 $-1<r<1$.

    提示： 当 $0\leqslant r<1$ 时, 令 $z=re^{i\theta}$, 考虑 $\operatorname{Ln}(1-z)$ 在 $|z|<1$ 内的一个单值解析分支 $\ln(1-z)$. 于是 $u(z)=\operatorname{Re}[\ln(1-z)]$ 在 $|z|<1$ 内调和. 且有 $u(0)=\operatorname{Re}(\ln 1)=0$. 再利用第二章习题 (-) 第 21 题的结果; 当 $-1\leqslant r<0$ 时, 可考虑 $\operatorname{Ln}(1+z)$ 在 $|z|<1$ 内的一个单值解析分支 $\ln(1+z)$, 再作类似于上段的讨论, 即可得到证明.

    \item 如果两个二元实函数 $u_1(x,y)$ 与 $u_2(x,y)$ 在区域 $D$ 内调和, 在闭域 $\overline{D}$ 上连续, 且在 $D$ 的所有边界点处有
    \[
    u_1(x,y) = u_2(x,y),
    \]
    试证在 $D$ 内恒有
    \[
    u_1(x,y) = u_2(x,y).
    \]

    提示： 考虑 $u(x,y)=u_1(x,y)-u_2(x,y)$.

    \item 设二元实函数 $u(x,y)$ 是在 $0<|z|<\rho (<+\infty)$ 内的有界调和函数. 试证适当定义 $u(0,0)$ 后, $u(x,y)$ 是在 $|z|<\rho$ 内的调和函数.
\end{enumerate}

\end{document}

